设函数f（x）=（x+a）lnx-x+a．（Ⅰ）设g（x）=f‘（x），求g（x）函数的单调区间；（Ⅱ）若a≥1e，试研究函数f（x）=（x+a）lnx-x+a的零点个数．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=（x+a）lnx-x+a．（Ⅰ）设g（x）=f‘（x），求g（x）函数的单调区..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=（x+a）lnx-x+a．
（Ⅰ）设g（x）=f'（x），求g（x）函数的单调区间；
（Ⅱ）若a≥

1

e

，试研究函数f（x）=（x+a）lnx-x+a的零点个数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）g（x）的定义域是（0，+∞）∵g（x）=f'（x）=

a

x

+lnx，
∴g'（x）=-

a

x2

+

1

x

=

x-a

x2

，…（2分）
（1）当a≤0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，
故g（x）单调区间是（0，+∞）…（4分）
（2）当a＞0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（a，+∞）上单调递增，
再由g'（x）＜0得g（x）在（0，a）上单调递减．
g（x）的单调区间是（0，a）与（a，+∞）…（7分）
（Ⅱ）由题（Ⅰ）知，g（x）在x=a时取到最小值，且为g（a）=

a

+lna=1+lna．…（9分）
∵a≥

1

e

，∴lna≥-1，∴g（a）≥0．
∴f'（x）≥g（a）≥0．f（x）在（0，+∞）上单调递增，…（11分）
∵f（e）=（e+a）lne-e+a=2a＞0，f(

1

e

)=(

1

e

+a)ln

1

e

-

1

e

+a=-

2

e

＜0，，
∴f(x)在(

1

e

，e)内有零点．…（13分）
故函数f（x）=（x+a）lnx-x+a的零点个数为1．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=（x+a）lnx-x+a．（Ⅰ）设g（x）=f‘（x），求g（x）函数的单调区..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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