发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-16 07:30:00
试题原文 |
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(I)证明:求导函数,可得f'(x)=axlna+2x-lna=2x+(ax-1)lna, 由于a>1,∴lna>0,当x>0时,ax-1>0,∴f'(x)>0,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增. (Ⅱ)令f'(x)=2x+(ax-1)lna=0,得到x=0,f(x),f'(x)的变化情况如下表:
y=f(x)在(-∞,0)递减,在(0,+∞)递增,极小值f(0)=1也是最小值,当x→±∞时,f(x)→+∞. ∵t-1<t+1,∴f(x)=t+1有两个根,f(x)=t-1只有一个根. ∴t-1=fmin(x)=f(0)=1,∴t=2.(9分) (Ⅲ)问题等价于f(x)在[-1,1]的最大值与最小值之差≤e-1. 由(Ⅱ)可知f(x)在[-1,0]上递减,在[0,1]上递增, ∴f(x)的最小值为f(0)=1,最大值等于f(-1),f(1)中较大的一个, f(-1)=
记g(x)=x-
∴g(x)=x-
∴当a>1时,g(a)=a-
即f(1)-f(-1)>0,∴f(1)>f(-1), 于是f(x)的最大值为f(1)=a+1-lna, 故对?x1,x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤|f(1)-f(0)|=a-lna,∴a-lna≤e-1, 当x≥1时,(x-lnx)′=
∴由a-lna≤e-1可得a的取值范围是1<a≤e. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=ax+x2-xlna,(a>1).(I)求证:函数f(x)..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的零点与方程根的联系”。