已知函数f（x）=3x2-2（k2-k+1）x+5，g（x）=2k2x+k，其中k∈R．（1）设函数p（x）=f（x）+g（x）．若p（x）在（0，3）上有零点，求k的取值范围；（2）设函数q（x）=g(x)，x≥0f(x)，x＜0是否存在k，对任-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=3x2-2（k2-k+1）x+5，g（x）=2k2x+k，其中k∈R．（1）设函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=3x²-2（k²-k+1）x+5，g（x）=2k²x+k，其中k∈R．
（1）设函数p（x）=f（x）+g（x）．若p（x）在（0，3）上有零点，求k的取值范围；
（2）设函数q（x）=

g(x)，x≥0

f(x)，x＜0

是否存在k，对任意给定的非零实数x₁，存在惟一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q（x₂）=q（x₁）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=3x²-2（k²-k+1）x+5，g（x）=2k²x+k，
p（x）在（0，3）上有零点，
∴p（x）=f（x）+g（x）=3x²+2（k-1）x+k+5在（0，3）上有零点．
∴△=（4k²-8k+4）-12k-60≥0，解得 k≤-2，或 k≥7．
若p（x）在（0，3）上有唯一零点，则 p（0）p（3）=（k+5）（7k+26）＜0 ①，
或

△＞0

P(0)=0

P(3)＞0

②，或

△＞0

P(0)＞0

P(3)=0

③，或

P(0)＞0

P(3)＞0

△=0

④．
解①得-

26

7

＜k＜-5，解②得k∈?，解③得k=-

26

7

，解④可得 k=-2，或k=7．
若p（x）在（1，4）上有2个零点，则有

△＞0

p(0)＞0

P(3)＞0

0＜

1-k

3

＜3

，解得-

26

7

＜k≤-2．
综上所述，实数k的取值范围为[-

26

7

，-2]．
（2）函数q（x）=

g(x)，x≥0

f(x)，x＜0

，
即q（x）=

2k2x+k，x≥0

3x2-2(k2-k+1)x+5，x＜0

．
显然，k=0不满足条件，故k≠0．
当x≥0时，q（x）=2k²x+k∈[k，+∞）．
当x＜0时，q（x）=3x²-2（k²-k+1）x+5∈（5，+∞）．
记A=[k，+∞），B∈（15，+∞）．
①当x₂＞0时，q（x）在（0，+∞）上是增函数，
要使q（x₂）=q（x₁），则x₁＜0，且A?B，故k≥5；
②当x₂＜0时，q（x）在（-∞，0）上是减函数，
要使q（x₂）=q（x₁），则x₁＞0，且B?A，故k≤5；
综上可得，k=5满足条件．
故存在k=5，对任意给定的非零实数x₁，存在惟一的非零实数x₂（x₂≠x₁），使得q（x₂）=q（x₁）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=3x2-2（k2-k+1）x+5，g（x）=2k2x+k，其中k∈R．（1）设函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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