已知函数h（x），定义fk（x）=h（x-mk）+nk，x∈（mk，m+mk]，k∈Z（其中m＞0、n＞0是常数）叫阶梯函数的第k阶，m叫阶宽，n叫阶高．（1）若h（x）=2x，求当阶宽为2，阶高为3的第0阶和第k函数f0-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数h（x），定义fk（x）=h（x-mk）+nk，x∈（mk，m+mk..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数h（x），定义f_k（x）=h（x-mk）+nk，x∈（mk，m+mk]，k∈Z（其中m＞0、n＞0是常数）叫阶梯函数的第k阶，m叫阶宽，n叫阶高．
（1）若h（x）=2^x，求当阶宽为2，阶高为3的第0阶和第k函数f₀（x）和f_k（x）的解析式；
（2）若h（x）=x²，设阶宽为2，阶高为3；是否存在正整数k，使得f_k（x）＜（1-3k）x+4k²+3k-1有解？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f₀（x）=h（x）=2^x，x∈（0，2]；f_k（x）=h（x-2k）+3k=2 ^x-2k+3k，x∈（2k，2k+2]，k∈Z．
（2）若h（x）=x²，则f_k（x）=（x-2k）²+3k，f_k（x）＜（1-3k）x+4k²+3k-1
?（x-2k）²+3k＜（1-3k）x+4k²+3k-1，
整理得出x²-（k+1）x+1＜0．
当k=1时，x²-2x+1＜0无解，当k≥2时，x²-（k+1）x+1＜0，
得出

k+1-

(k+1)2-4

2

＜x＜

k+1+

(k+1)2-4

2

①
又根据x∈（2k，2k+2]，k∈Z ②
又根据

k+1+

(k+1)2-4

2

＜

k+1+

(k+1)2

2

=k+1＜2k，
①②无公共部分，即不存在正整数k满足题意．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数h（x），定义fk（x）=h（x-mk）+nk，x∈（mk，m+mk..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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