已知函数f(x)=a3x3-12(a+1)x2+x-13（a∈R）．（1）函数f（x）的图象在点（-1，f（-1））处的切线方程为12x-y+b=0（b∈R），求a与b的值；（2）若a＜0，求函数f（x）的极值；（3）是否存在实数a使得函-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=a3x3-12(a+1)x2+x-13（a∈R）．（1）函数f（x）的图象在点（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

a

3

x3-

1

2

(a+1)x2+x-

1

3

（a∈R）．
（1）函数f（x）的图象在点（-1，f（-1））处的切线方程为12x-y+b=0（b∈R），求a与b的值；
（2）若a＜0，求函数f（x）的极值；
（3）是否存在实数a使得函数f（x）在区间[0，2]上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）已知函数f(x)=

a

3

x3-

1

2

(a+1)x2+x-

1

3

（a∈R）．
则导数f′（x）=ax²-（a+1）x+1，
函数f（x）的图象在x=-1处的切线方程为12x-y+b=0可知：
f′（-1）=a+（a+1）+1=12，f（-1）=-

a

3

-

1

2

（a+1）-1-

1

3

=-12+b，
解得a=5，b=6；
（2）f′（x）=ax²-（a+1）x+1=a（x-1）（x-

1

a

）
∵a＜0，∴

1

a

＜1，

（-∞，

1

a

）

1

a

（

1

a

，1）

1

（1，+∞）

f′（x）

-

0

+

0

-

f（x）

递减

极小值

递增

极大值

递减

∴f（x）极大值=f（

1

a

）=

-2a2+3a-1

6a2

，f（x）极大值=f（1）=-

1

6

（a-1）
（3）f（

1

a

）=

-2a2+3a-1

6a2

=

-(a-1)(2a-1)

6a2

，f（1）=-

1

6

（a-1）
f（2）=

1

3

（2a-1），f（0）=-

1

3

＜0，
①当a≤

1

2

时f（x）在[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数，f（0）=-

1

3

＜0，
f（1）=-

1

6

（a-1）＞0，f（2）=

1

3

（2a-1）≤0，所以f（x）在区间[0，1]，（1，2]上各有一个零点，即在[0，2]上有两个零点；当

1

2

＜a≤1时，f（x）在[0，1]上为增函数，在（1，

1

a

）上为减函数，（

1

a

，2）上为增函数，f（0）=-

1

3

＜0，
f（1）=-

1

6

（a-1）＞0，f（

1

a

）=

-(a-1)(2a-1)

6a2

＞0，f（2）=

1

3

（2a-1）＞0，
所以f（x）只在区间[0，1]上有一个零点，故在[0，2]上只有一个零点；
③当a＞1时，f（x）在[0，

1

a

]上为增函数，在（

1

a

，1）上为减函数，（1，2）上为增函数，f（0）=-

1

3

＜0，f（

1

a

）=

-(a-1)(2a-1)

6a2

＜0，f（1）=-

1

6

（a-1）＜0，f（2）=

1

3

（2a-1）＞0，
，所以f（x）只在区间（1，2）上有一个零点，故在[0，2]上只有一个零点；
故存在实数a，当a≤

1

2

时，函数f（x）在区间[0，2]上有两个零点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=a3x3-12(a+1)x2+x-13（a∈R）．（1）函数f（x）的图象在点（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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