已知函数f（x）=x|x-a|+2x．若存在a∈[-3，3]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（）A．(98，54)B．(1，2524)C．(1，98)D．(1，54)-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x|x-a|+2x．若存在a∈[-3，3]，使得关于x的方程f（x）=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x|x-a|+2x．若存在a∈[-3，3]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，则实数t的取值范围是（　　）

A．(

9

8

，

5

4

)

B．(1，

25

24

)

C．(1，

9

8

)

D．(1，

5

4

)

试题来源：不详试题题型：单选题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，
则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根，…（2分）
则当a∈（2，3]时，由f（x）=

x2+(2-a)x，x≥a

-x2+(2+a)x，x＜a

，
得x≥a时，f（x）=x²+（2-a）x，对称轴x=

a-2

2

＜a，
则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），
x＜a时，f（x）=-x²+（2+a）x，对称轴x=

a+2

2

＜a，
则f（x）在x∈（-∞，

a+2

2

]为增函数，此时f（x）的值域为（-∞，

(a+2)2

4

]，
f（x）在x∈[

a+2

2

，a）为减函数，此时f（x）的值域为（2a，

(a+2)2

4

]；
由存在a∈（2，3]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，
则2ta∈（2a，

(a+2)2

4

），
即存在a∈（2，3]，使得t∈（1，

(a+2)2

8a

）即可，
令g（a）=

(a+2)2

8a

=

1

8

（a+

4

a

+4），
只要使t＜（g（a））_max即可，而g（a）在a∈（2，3]上是增函数，
∴（g（a））max=g（3）=

25

24

，
故实数t的取值范围为（1，

25

24

）；…（15分）
同理可求当a∈[-4，-2）时，t的取值范围为（1，

25

24

）；
综上所述，实数t的取值范围为（1，

25

24

）．…（17分）
故选B．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x|x-a|+2x．若存在a∈[-3，3]，使得关于x的方程f（x）=..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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