发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-16 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)由题意得f'(x)=3ax2-12ax+3b,f'(2)=-3, ∵图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0. ∴x=2时,y=5,即f(2)=5, ∴
解得a=1,b=3, ∴f(x)=x3-6x2+9x+3.(4分) (Ⅱ)由f(x)=x3-6x2+9x+3,可得f'(x)=3x2-12x+9, ∴
则由题意可得x3-6x2+9x+3=x2+x+3+m有三个不相等的实根, 即g(x)=x3-7x2+8x-m的图象与x轴有三个不同的交点,g'(x)=3x2-14x+8=(3x-2)(x-4), 则g(x),g'(x)的变化情况如下表.
y=f(x)的图象与y=
解得-16<m<
(Ⅲ)存在点P满足条件.(9分) ∵f(x)=x3-6x2+9x+3, ∴f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3), 由f'(x)=0,得x1=1,x2=3. 当x<1时,f'(x)>0;当1<x<3时,f'(x)<0;当x>3时,f'(x)>0. 可知极值点为A(1,7),B(3,3),线段AB中点P(2,5)在曲线y=f(x)上,且该曲线关于点P(2,5)成中心对称. 证明如下: ∵f(x)=x3-6x2+9x+3, ∴f(4-x)=(4-x)3-6(4-x)2+9(4-x)+3=-x3+6x2-9x+7, ∴f(x)+f(4-x)=10. 上式表明,若点A(x,y)为曲线y=f(x)上任一点,其关于P(2,5)的对称点A(4-x,10-y)也在曲线y=f(x)上,曲线y=f(x)关于点P(2,5)对称. 故存在点P(2,5),使得过该点的直线若能与曲线y=f(x)围成两个封闭图形,这两个封闭图形的面积相等.…(12分) |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“函数f(x)=ax3-6ax2+3bx+b,其图象在x=2处的切线方程为3x+y-11=0...”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的零点与方程根的联系”。