已知：二次函数f（x）满足f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（x）-ax2+1有一个正的零点，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知：二次函数f（x）满足f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．（1）求f（x）的解析式..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知：二次函数f（x）满足f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）-ax²+1有一个正的零点，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵二次函数f（x）满足f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．
设f（x）=ax²+bx+c，f（0）=1可得c=1，
a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2x，
可得a=1，b=-1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）g（x）=f（x）-ax²+1=（1-a）x²-x+2，
g（x）=0有一个正的零点?（1-a）x²-x+2=0有一个正根，
①当1-a=0即a=1，得x=2，符合题意；
②1-a≠0即a≠1时，△=1-8（1-a）=8a-7，
当8a-7=0，即a=

7

8

时，方程有等根x=4，符合题意，
当a＞

7

8

时，△＞0，只需两根x1x2＜0，即

2

1-a

＜0，
∴a＞1，
综上a的取值范围为[1，+∞）∪{

7

8

}；

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：二次函数f（x）满足f（0）=1和f（x+1）-f（x）=2x．（1）求f（x）的解析式..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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