已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）的最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在区间（0，e）上的单调情况；（Ⅲ）试推断方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x是否有实数-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．
（Ⅰ）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间（0，e）上的单调情况；
（Ⅲ）试推断方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x是否有实数解．若有实数解，请求出它的解集．

试题来源：汕尾二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）当a=-1时，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

…（1分）
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+∞）上是减函数…（3分）
∴f（x）_max=f（1）=-1…（4分）
（Ⅱ）∵f′（x）=a+

1

x

，x∈（0，e），

1

x

∈(

1

e

，+∞)…（5分）
①若a≥-

1

e

，则f′（x）＞0，从而f（x）在（0，e）上增函数…（6分）
②若a＜-

1

e

，则由f′（x）＞0?a+

1

x

＞0，即0＜x＜-

1

a

由f′（x）＜0?a+

1

x

＜0，即-

1

a

＜x＜e．…（7分）
∴f（x）在(0，-

1

a

)上增函数，在(-

1

a

，e)为减函数…（8分）
综合上面得：当a≥-

1

e

时，f（x）在（0，e）上增函数；当a＜-

1

e

时，f（x）在(0，-

1

a

)上增函数，在(-

1

a

，e)为减函数．
（Ⅲ）|2x（x-lnx）|=2lnx+x?|x-lnx|=

lnx

x

+

1

2

…（9分）
由（Ⅰ）知当a=-1时f（x）_max=f（1）=-1，即-x+lnx≤-1
∴|x-lnx|≥1…（10分）
又令g（x）=

lnx

x

+

1

2

，g′（x）=

1-lnx

x2

，
令g′（x）＞0，得0＜x＜e；令g′（x）＜0，得x＞e
∴g（x）的增区间为（0，e），减区间为（e，+∞）
∴g（x）_max=g（e）=

1

e

+

1

2

＜1，∴g（x）＜1…（12分）
∴|x-lnx|＞g（x），即|x-lnx|＞

lnx

x

+

1

2

…（13分）
∴方程|x-lnx|=

lnx

x

+

1

2

即方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x没有实数解．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax+lnx，其中a为常数，设e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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