设函数f（x）=lnx-ax，a∈R．（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]的最大值；（3）当a=-1时，关于x的方程2mf（x）=x2（m＞0）有唯一实数解，求实-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=lnx-ax，a∈R．（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=lnx-ax，a∈R．
（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值；
（2）当a＞0时，求函数f（x）在区间[1，2]的最大值；
（3）当a=-1时，关于x的方程2mf（x）=x²（m＞0）有唯一实数解，求实数m的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）的定义域为（0，+∞），所以f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

． …（2分）
因为当x=1时，函数f（x）取得极值，所以f′（1）=1-a=0，所以a=1．
经检验，a=1符合题意．（不检验不扣分） …（4分）
（2）f′（x）=

1

x

-a=

1-ax

x

，x＞0．
令f′（x）=0得x=

1

a

．因为x∈（0，

1

a

）时，f′（x）＞0，x∈（

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（0，

1

a

）递增，在（

1

a

，+∞）递减，…（5分）
①当0＜

1

a

≤1，即a≥1时，f（x）在（1，2）上递减，所以x=1时，f（x）取最大值f（1）=-a；
②当1＜

1

a

＜2，即

1

2

＜a＜1时，f（x）在（1，

1

a

）上递增，在（

1

a

，2）上递减，
所以x=

1

a

时，f（x）取最大值f（

1

a

）=-lna-1；
③当

1

a

≥2，即0＜a≤

1

2

时，f（x）在（1，2）上递增，所以x=2时，f（x）取最大值f（2）=ln2-2a．
综上，①当0＜a≤

1

2

时，f（x）最大值为ln2-2a；②当

1

2

＜a＜1时，f（x）最大值为-lna-1；
③当a≥1时，f（x）最大值为-a． …（8分）
（每种情形1分）
（3）因为方程2mf（x）=x²有唯一实数解，
所以x²-2mlnx-2mx=0有唯一实数解，
设g（x）=x²-2mlnx-2mx，
则g′（x）=

2x2-2mx-2m

x

，令g′（x）=0，x²-mx-m=0．
因为m＞0，x＞0，所以x₁=

m-

m2+4m

2

＜0（舍去），x₂=

m+

m2+4m

2

，
当x∈（0，x₂）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x₂）上单调递减，
当x∈（x₂，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x₂，+∞）单调递增，
当x=x₂时，g（x）取最小值g（x₂）． …（10分）
则

g(x2)=0

g′(x2)=0

即

x

22

-2mlnx2-2mx2=0

x

22

-mx2-m=0

所以2mlnx₂+mx₂-m=0，因为m＞0，所以2lnx₂+x₂-1=0（*），
设函数h（x）=2lnx+x-1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x₂=1，即

m+

m2+4m

2

=1，
解得m=

1

2

． …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=lnx-ax，a∈R．（1）当x=1时，函数f（x）取得极值，求a的值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：