定义在R上的函数f（x）=ax3+cx，满足：①函数f（x）图象过点（3，-6）；②函数f（x）在x1，x1处取得极值且|x1-x2|=4．求：（1）函数f（x）的表达式；（2）若a，β∈R，求证：|f（2cosa）-f（2sinβ）|≤6-数学试题及答案

1、试题题目：定义在R上的函数f（x）=ax3+cx，满足：①函数f（x）图象过点（3，-6）；②..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

定义在R上的函数f（x）=ax³+cx，满足：①函数f（x）图象过点（3，-6）；②函数f（x）在x₁，x₁处取得极值且|x₁-x₂|=4．
求：（1）函数f（x）的表达式；
（2）若a，β∈R，求证：|f（2cosa）-f（2sinβ）|≤

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试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=3ax²+c=0
由②知c=-12a
∵函数f（x）图象过点（3，-6）；
∴27a+3c=-6
∴a=

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，c=-8，
故f(x)=

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x3-8x；
（2）若α，β∈R，2cosα，2sinβ∈[-2，2]，
而y′=2x²-8≤0在[-2，2]恒成立，故y=f（x）在[-2，2上是减函数
∴ymin=f(2)=-

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，ymax=

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∴∴|f(2cosα)-f(2sinβ)|≤|

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-(-

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)|=

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3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义在R上的函数f（x）=ax3+cx，满足：①函数f（x）图象过点（3，-6）；②..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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