已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，且g（1）=-1．（1）求g（x）的表达式；（2）设1＜m≤e，H（x）=g（x+12）+mlnx-（m+1）x+98，求证：H（x）在[1，m]上为减函数；（3）在（-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，且g（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x²-2x-1，且g（1）=-1．
（1）求g（x）的表达式；
（2）设1＜m≤e，H（x）=g（x+

1

2

）+mlnx-（m+1）x+

9

8

，求证：H（x）在[1，m]上为减函数；
（3）在（2）的条件下，证明：对任意x₁，x₂∈[1，m]，恒有|H（x₁）-H（x₂）|＜1．

试题来源：许昌县模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设g（x）=ax²+bx+c
于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）²+2c=（x-1）²-2
所以

a=

1

2

c=-1

又g（1）=-1
所以b=-

1

2

所以g(x)=

1

2

x2-

1

2

x-1
（2）H(x)=

1

2

x2+mlnx-(m+1)x， (1＜m≤e)
因为对?x∈[1，m]，
H′(x)=

(x-1)(x-m)

x

≤0
故H（x）在[1，m]上为减函数
（3）由（2）得：H（x）在[1，m]上为减函数则：
|H（x₁）-H（x₂）|＜1?

1

2

m2-lnm-

1

2

＜1?

1

2

m-lnm-

3

2m

＜0
记h(m)=

1

2

m-lnm-

3

2m

(1＜m≤e)，
则h′(m)=

1

2

-

1

m

+

3

2m2

=

3

2

(

1

m

-

1

3

)2+

1

3

＞0
所以h(m)=

1

2

m-lnm-

3

2m

(1＜m≤e)是单调增函数，

所以h(m)≤h(e)=

e

2

-1-

3

2e

=

(e-3)(e+1)

2e

＜0，故命题成立

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，且g（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：