已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R）满足：对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有f(x)≤18(x+2)2成立．（1）证明：f（2）=2；（2）若f（-2）=0，求f（x）的表达式．-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R）满足：对任意实数x，都有..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R）满足：对任意实数x，都有f（x）≥x，且当x∈（1，3）时，有f(x)≤

1

8

(x+2)2成立．
（1）证明：f（2）=2；
（2）若f（-2）=0，求f（x）的表达式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）由f（x）≥x得f（2）≥2．…（2分）
因为当x∈（1，3）时，有f（x）≤

1

8

(x+2)2成立，所以f（2）≤

1

8

(2+2)2=2．
所以f（2）=2．…（4分）
（2）由

f(2)=2

f(-2)=0

得

4a+2b+c=2

4a-2b+c=0

从而有b=

1

2

，c=1-4a．于是f（x）=ax²+

1

2

x+1-4a．…（7分）
f（x）≥x?ax²-

1

2

x+1-4a≥0．
若a=0，则-

1

2

x+1≥0不恒成立．
所以

a＞0

(-

1

2

)2-4a(1-4a)≤0

即

a＞0

(4a-

1

2

)2≤0

解得a=

1

8

．…（11分）
当a=

1

8

时，f（x）=

1

8

x2+

1

2

x+

1

2

=

1

8

(x+2)2
满足f（x）≤

1

8

(x+2)2(x∈(1， 3))．…（12分）
故f（x）=

1

8

x2+

1

2

x+

1

2

．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R）满足：对任意实数x，都有..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：