已知定义在R上的函数f（x）同时满足：（1）f（x1+x2）+f（x1-x2）=2f（x1）cos2x2+4asin2x2（x1，x2∈R，a为常数）；（2）f（0）=f（π4）=1；（3）当x∈[0，π4]时，|f（x）|≤2求：（Ⅰ）函数f（x）的解析式；-数学试题及答案

1、试题题目：已知定义在R上的函数f（x）同时满足：（1）f（x1+x2）+f（x1-x2）=2f（x1）c..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知定义在R上的函数f（x）同时满足：
（1）f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）cos2x₂+4asin²x₂（x₁，x₂∈R，a为常数）；
（2）f（0）=f（

π

4

）=1；
（3）当x∈[0，

π

4

]时，|f（x）|≤2
求：（Ⅰ）函数f（x）的解析式；（Ⅱ）常数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）在f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）cos2x₂+4asin²x₂中，
分别令

x1=0

x2=x

；

x1=

π

4

+x

x2=

π

4

；

x1=

π

4

x2=

π

4

+x

得

f(x)+f(-x)=2cos2x+4asin2x①

f(

π

2

+x)+f(x)=2a②

f(

π

2

+x)+f(-x)=2cos(

π

2

+2x)+4asin2(

π

4

+x)③

由①+②-③，得
2f（x）=2a+2cos2x-2cos（

π

2

+2x）+4a（

1-cos2x

2

）-4a（

1-cos2(

π

4

+x)

2

）
=2a+2（cos2x+sin2x）-2a（cos2x+sin2x）
∴f（x）=a+

2

（1-a）sin（2x+

π

4

）
（Ⅱ）当x∈[0，

π

4

]时，则

π

4

≤2x≤

3π

4

，∴sin（2x+

π

4

）∈[

2

，1]．
∵|f（x）|≤2，
（1）当a＜1时，-2≤a+

2

[

2

（1-a）]≤f（x）≤a+

2

（1-a）≤2．
即1-

2

≤（1-

2

）a≤2-

2

，解得-

2

≤a≤1，
故a的取值范围[-

2

，1）．
（2）当a≥1时，-2≤a+

2

（1-a）≤f（x）≤1．即-2-

2

≤（1-

2

）a≤1-

2

，
解得1≤a≤4+3

2

．
综上，满足条件a的取值范围[-

2

，4+3

2

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知定义在R上的函数f（x）同时满足：（1）f（x1+x2）+f（x1-x2）=2f（x1）c..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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