已知三次函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（1）=0，f′（2）=3，f′（3）=12．（Ⅰ）求f（x）-f（0）的表达式；（Ⅱ）若对任意的x∈[-1，4]，都有f（x）＞f‘（x）成立，求f（0）的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知三次函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（1）=0，f′（2）=3，f′（3）=1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知三次函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（1）=0，f′（2）=3，f′（3）=12．
（Ⅰ）求f（x）-f（0）的表达式；
（Ⅱ）若对任意的x∈[-1，4]，都有f（x）＞f'（x）成立，求f（0）的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设f（x）=ax³+bx²+cx+d，则f′（x）=3ax²+2bx+c．
∴

3a+2b+c=0

12a+4b+c=3

27a+6b+c=12

即

a=1

b=-3

c=3

．
∴f（x）-f（0）=x³-3x²+3x．
（Ⅱ）f′（x）=3x²-6x+3，∵对任意的x∈[-1，4]，f（x）＞f′（x）成立
∴f（x）-f′（x）=x³-6x²+9x+f（0）-3＞0．
∴f（0）＞-x³+6x²-9x+3
设F（x）=-x³+6x²-9x+3，则F′（x）=-3x²+12x-9．
令F′（x）=0得x=1或x=3，∴x=1和x=3是函数的极值点．
又F（-1）＞F（3），F（-1＞F（1），F（-1）＞F（4）
∴F（x）在[-1，4]上的最大值为F（-1）=19．f（0）的取值范围是（19，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知三次函数f（x）的导函数为f′（x），且f′（1）=0，f′（2）=3，f′（3）=1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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