对定义域分别是F、G的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h（x）=f(x)+g(x)，当x∈F且x∈Gf(x)，当x∈F且x?Gg(x)，当x?F且x∈G已知函数f（x）=x2，g（x）=alnx（a∈R）．（1）求函数h（x）的解析式；-数学试题及答案

1、试题题目：对定义域分别是F、G的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h（x）=f(x)+g..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

对定义域分别是F、G的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h（x）=

f(x)+g(x)，当x∈F且x∈G
f(x)，当x∈F且x?G

g(x)，当x?F且x∈G

已知函数f（x）=x²，g（x）=alnx（a∈R）．
（1）求函数h（x）的解析式；
（2）对于实数a，函数h（x）是否存在最小值，如果存在，求出其最小值；如果不存在，请说明理由．

试题来源：醴陵市模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为函数f（x）=x²的定义域F=（-∞，+∞），函数g（x）=alnx的定义域G=（0，+∞），
所以h（x）=

x2+alnx x＞0

x2

x≤0（4分）
（2）当x≤0时，函数h（x）=x²单调递减，
所以函数h（x）在（-∞，0]上的最小值为h（0）=0．（5分）
当x＞0时，h（x）=x²+alnx．
若a=0，函数h（x）=x²在（0，+∞）上单调递增．此时，函数h（x）不存在最小值．（6分）
若a＞0，因为h′(x)=2x+

a

x

=

2x2+a

x

＞0，（7分）
所以函数h（x）=x²+alnx在（0，+∞）上单调递增．此时，函数h（x）不存在最小值．（8分）
若a＜0，因为h′(x)=

2x2+a

x

=

2(x+

-

a

2

)(x-

-

a

2

)

x

，（9分）
所以函数h（x）=x²+alnx在(0，

-

a

2

)上单调递减，在(

-

a

2

，+∞)上单调递增．此时，函数h（x）的最小值为h(

-

a

2

)．（10分）
因为h(

-

a

2

)=-

a

2

+aln

-

a

2

=-

a

2

+

a

2

ln(-

a

2

)=-

a

2

[1-ln(-

a

2

)]，（11分）
所以当-2e≤a＜0时，h(

-

a

2

)≥0，当a＜-2e时，h(

-

a

2

)＜0．（13分）
综上可知，当a＞0时，函数h（x）没有最小值；
当-2e≤a≤0时，函数h（x）的最小值为h（0）=0；
当a＜-2e时，函数h（x）的最小值为h(

-

a

2

)=-

a

2

[1-ln(-

a

2

)]．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对定义域分别是F、G的函数y=f（x）、y=g（x），规定：函数h（x）=f(x)+g..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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