已知：函数f（x）=（mx+n）lnx的图象过点A（e，e）且在A处的切线斜率为2，g(x)=13x3+12ax2+6x+2（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）对任意的x∈（0，+∞）f（x）≤g′（x）恒成立，求实数a的取值范围；-数学试题及答案

1、试题题目：已知：函数f（x）=（mx+n）lnx的图象过点A（e，e）且在A处的切线斜率为2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

已知：函数f（x）=（mx+n）lnx的图象过点A（e，e）且在A处的切线斜率为2，g(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+6x+2
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）对任意的x∈（0，+∞）f（x）≤g′（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）求函数f（x）在[t，2t]上的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由函数f（x）的图象过点A（e，e），所以em+n=e，①
f′（x）=mlnx+m+

n

x

，所以2m+

n

e

=2，②
联立①②解得m=1，n=0，
所以f（x）=xlnx．
（Ⅱ）由题意知，g′（x）=x²+ax+6，
f（x）≤g′（x），即xlnx≤x²+ax+6，
故a≥lnx-x-

6

x

对任意x∈（0，+∞）成立，
令h（x）=lnx-x-

6

x

（x＞0），
则h′（x）=

1

x

-1+

6

x2

=

-x2+x+6

x2

=-

x2-x-6

x2

=-

(x+2)(x-3)

x2

．
令h′（x）=0，因为x＞0，则x=3，
当0＜x＜3时，h′（x）＞0，当x＞3时，h′（x）＜0，
∴x=3时h（x）取最大值，h（x）_max=ln3-5．
故a≥ln3-5．所以实数a的取值范围为[ln3-5，+∞）．
（III）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f'（x）=lnx+1，…（1分）
当x∈（0，

1

e

），f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（

1

e

，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，
①当t＜

1

e

＜2t时，即

1

2e

＜t＜

1

e

时，f（x）min=f（

1

e

）=-

1

e

；
②当t≥

1

e

时，f（x）在[t，2t]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt；
③当2t≤

1

e

时，0＜t≤

1

2e

时，f（x）在[t，2t]上单调递减，f（x）_min=f（2t）=2tln2t；
所以f（x）_min=

tlnt，t≥

1

e

-

1

e

，

1

2e

＜t＜

1

e

2tln2t，t≤

1

2e

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知：函数f（x）=（mx+n）lnx的图象过点A（e，e）且在A处的切线斜率为2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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