设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的两个极值点．（1）若x1=-1，x2=2，求函数f（x）的解析式；（2）若|x1|+|x2|=22，求b的最大值．（3）若x1＜x＜x2，且x2=a，g（x）=f‘（x）-a（x-数学试题及答案

1、试题题目：设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

设x₁，x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（1）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（2）若|x1|+|x2|=2

2

，求b的最大值．
（3）若x₁＜x＜x₂，且x₂=a，g（x）=f'（x）-a（x-x₁），求证：|g(x)|≤

a(3a+2)2

12

．

试题来源：怀化二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）求导函数，可得f′（x）=3ax²+2bx-a²，
∵x₁=-1，x₂=2是函数f（x）的两个极值点，
∴f'（-1）=0，f'（2）=0，
∴3a-2b-a²=0，12a+4b-a²=0，
解得a=6，b=-9．
∴f（x）=6x³-9x²-36x．-------------------（4分）
（2）∵x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点，∴f'（x₁）=f'（x₂）=0．
∴x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的两根，故有△=4b²+12a³＞0对一切a＞0，b∈R恒成立．
∴x1+x2=-

2b

3a

，x1?x2=-

a

3

，
∵a＞0，∴x₁?x₂＜0，
∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=

(-

2b

3a

)2-4(-

a

3

)

=

4b2

9a2

+

4

3

a

-------------------（6分）
由|x1|+|x2|=2

2

得

4b2

9a2

+

4

3

a

=2

2

，
∴b²=3a²（6-a）．
∵b²≥0，∴3a²（6-a）≥0，∴0＜a≤6．
令h（a）=3a²（6-a），则h′（a）=36a-9a²．
当0＜a＜4时，h′（a）＞0，∴h（a）在（0，4）内是增函数；
当4＜a＜6时，h′（a）＜0，∴h（a）在（0，4）内是减函数；
∴当a=4时，h（a）是极大值为96，
∴h（a）在（0，6）上的最大值是96，∴b的最大值是4

6

．…（8分）
（3）∵x₁，x₂是方程3ax²+2bx-a²=0的两根．∴f'（x）=3a（x-x₁）（x-x₂）
∵x1?x2=-

a

3

，x2=a，∴x1=-

1

3

∴|g(x)|=|3a(x+

1

3

)(x-a)-a(x+

1

3

)|=|a(x+

1

3

)[3(x-a)-1]|…（10分）
∵x₁＜x＜x₂，
∴g(x)=a(x+

1

3

)(-3x+3a+1)═-3a(x+

1

3

)(x-

3a+1

3

)
=-3a(x-

a

2

)2+

3a3

4

+a2+

1

3

a≤

3a3

4

+a2+

1

3

a=

a(3a+2)2

12

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设x1，x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：