．设函数f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）对于区间[-1，1]中的某个t，是否存在实数a，使得不等式g（t）-数学试题及答案

1、试题题目：．设函数f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-17 07:30:00

试题原文

．设函数f(x)=-cos2x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t3+t2-3t+4，x∈R，
其中|t|≤1，将f（x）的最小值记为g（t）．
（1）求g（t）的表达式；
（2）对于区间[-1，1]中的某个t，是否存在实数a，使得不等式g（t）≤

4a

1+a2

成立？如果存在，求出这样的a及其对应的t；如果不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数解析式的求解及其常用方法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f(x)=-cos2x-4tsin

x

2

cos

x

2

+4t3+t2-3t+4=sin²x-1-2tsinx+4t³+t²-3t+4=sin²x-2tsinx+t²+4t³-3t+3=（sinx-t）²+4t³-3t+3．
由（sinx-t）2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f（x）有最小值g（t），即
g（t）=4t3-3t+3．
（2）我们有g'（t）=12t²-3=3（2t+1）（2t-1），-1＜t＜1．
列表如下：

t

（-1，-

1

2

）

-

1

2

（-

1

2

，

1

2

）

1

2

（

1

2

，1）

g'（t）

+

0

-

0

+

G（t）

↗

极大值g（-

1

2

）

↘

极小值g（

1

2

）

↗

由此可见，g（t）在区间（-1，-

1

2

）和（

1

2

，1）单调增加，在区间（-

1

2

，

1

2

）单调减小，极小值为g（

1

2

）=2，
又g（-1）=-4-（-3）+3=2
故g（t）在[-1，1]上的最小值为2
注意到：对任意的实数a，

4a

1+a2

=

4

a+

1

a

∈[-2，2]
当且仅当a=1时，

4a

1+a2

=2，对应的t=-1或

1

2

，
故当t=-1或

1

2

时，这样的a存在，且a=1，使得g（t）≥

4a

1+a2

成立．
而当t∈（-1，1]且t≠

1

2

时，这样的a不存在．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“．设函数f(x)=-cos2x-4tsinx2cosx2+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数解析式的求解及其常用方法”。

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