已知点M，N分别在直线y=mx和y=-mx（m＞0）上运动，点P是线段MN的中点，且|MN|=2，动点P的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的方程，并讨论方程所表示的曲线类型；（2）设m=22时，过点A（-263-数学试题及答案

1、试题题目：已知点M，N分别在直线y=mx和y=-mx（m＞0）上运动，点P是线段MN的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知点M，N分别在直线y=mx和y=-mx（m＞0）上运动，点P是线段MN的中点，且|MN|=2，动点P的轨迹是曲线C．
（1）求曲线C的方程，并讨论方程所表示的曲线类型；
（2）设m=

2

时，过点A（-

2

6

3

，0）的直线l与曲线C恰有一个公共点，求直线l的斜率．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设P（x，y），M（x₁，mx₁），N（x₂，-mx₂），
依题意得

x1+x2=2x

mx1-mx2=2y

(x1-x2)2+(mx1+mx2)2=22

，
消去x₁，x₂，整理得

x2

1

m2

+

y2

m2

=1，
当m＞1时，方程表示焦点在y轴上的椭圆，
当0＜m＜1时，方程表示焦点在x轴上的椭圆，
当m=1时，方程表示圆．
（2）当m=

2

时，方程为

x2

2

+

y2

1

2

=1，
设直线l的方程为y=k（x+

2

6

3

），与椭圆方程联立

x2

2

+

y2

1

2

=1

y=k(x+

2

6

3

)

，
消去y得（1+4k²）x²+

16

6

3

k²x+

32k2

3

-2=0，
根据已知可得△=0，
故有（

16

6

3

k²）²-4（1+4k²）（

32k2

3

-2）=0，k²=

3

4

∴直线l的斜率为k=±

3

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点M，N分别在直线y=mx和y=-mx（m＞0）上运动，点P是线段MN的..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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