已知抛物线C：y=14x2-32xcosθ+94cos2θ+2sinθ（θ∈R）（I）当θ变化时，求抛物线C的顶点的轨迹E的方程；（II）已知直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交（I）中轨迹E于A、B两点，若AB=2AM，-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C：y=14x2-32xcosθ+94cos2θ+2sinθ（θ∈R）（I）当θ变化时，求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知抛物线C：y=

1

4

x2-

3

2

xcosθ+

9

4

cos2θ+2sinθ（θ∈R）
（I）当θ变化时，求抛物线C的顶点的轨迹E的方程；
（II）已知直线l过圆x²+y²+4x-2y=0的圆心M，交（I）中轨迹E于A、B两点，若

AB

=2

AM

，求直线l的方程．

试题来源：宿州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）将抛物线方程配方得y=

1

4

(x-3cosθ)2+2sinθ，
设抛物线的顶点为p（x₀，y₀），则

x0=3cosθ

y0=2sinθ

，消去θ得

x

20

9

+

y

20

4

=1．
故抛物线C的顶点P的轨迹E的方程：

x

2

9

+

y

2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ）由x²+y²+4x-2y=0得圆心M（-2，1），
∵

AB

=2

AM

∴M是AB的中点，易得直线l不垂直x 轴，
可设l的方程为y=k（x+2）+1，代入轨迹E的方程得：（4+9k²）x²+（36k²+18k）x+36k²+36k-27=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=-

36k2+18k

4+9k2

，
∵M是AB的中点，∴-

36k2+18k

4+9k2

=-4，解得k=

8

9

．
∴直线l的方程为y=

8

9

(x+2)+1，即8x-9y+25=0…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C：y=14x2-32xcosθ+94cos2θ+2sinθ（θ∈R）（I）当θ变化时，求..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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