过点（1，0）直线l交抛物线y2=4x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，抛物线的顶点是O．（ⅰ）证明：OA?OB为定值；（ⅱ）若AB中点横坐标为2，求AB的长度及l的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：过点（1，0）直线l交抛物线y2=4x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，抛物..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-31 07:30:00

试题原文

过点（1，0）直线l交抛物线y²=4x于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，抛物线的顶点是O．
（ⅰ）证明：

OA

?

OB

为定值；
（ⅱ）若AB中点横坐标为2，求AB的长度及l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（ⅰ）设直线l的方程为x=my+1，代入y²=4x，得y²-4my-4=0，
∴y₁y₂=-4，∴x1x2=

y

21

4

?

y

22

4

=1，
∴

OA

?

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-3为定值；
（ⅱ） l与X轴垂直时，AB中点横坐标不为2，
设直线l的方程为y=k（x-1），代入y²=4x，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
∵AB中点横坐标为2，∴

2(k2+2)

k2

=4，∴k=±

2

，
l的方程为y=±

2

(x-1)．
|AB|=x₁+x₂+2=

2(k2+2)

k2

=4+2=6，AB的长度为6．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“过点（1，0）直线l交抛物线y2=4x于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，抛物..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

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