已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+6=0相切，过点P（4，0）的直线L与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求O-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，以原点为圆心..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-31 07:30:00

试题原文

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

1

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切，过点P（4，0）的直线L与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求

OA

?

OB

的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意知 e=

c

a

=

1

2

，∴e²=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

1

4

，即a²=

4

3

b²又∵椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+

6

=0相切
∴b=

6

1+1

=

3

，∴a²=4，b²=3，
故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（2）由题意知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x-4）．
疳直线方程y=k（x-4）代入椭圆方程可得：（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0
由△＞0得：1024k⁴-4（3+4k²）（64k²-12）＞0，解得k²＜

1

4

设A（x₁，y₁），B （x₂，y₂），则x₁+x₂=

32k2

3+4k2

，x₁x₂=

64k2-12

3+4k2

∴

OA

?

OB

=x1x2+y1y2=(1+k2)?

64 k2-12

4k2+3

-4k2?

32k2

4k2+3

+16k2=25-

87

4k2+3

∵0≤k2＜

1

4

，
∴

OA

?

OB

∈[-4，

13

4

)
∴

OA

?

OB

的取值范围是[-4，

13

4

)

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为12，以原点为圆心..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：