已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且椭圆C经过点M(2，2)．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过圆O：x2+y2=83上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且椭..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-31 07:30:00

试题原文

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的

2

倍，且椭圆C经过点M(2，

2

)．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆O：x2+y2=

8

3

上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：

OA

?

OB

为定值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵长轴长是短轴长的

2

倍，
∴椭圆方程为

x2

2b2

+

y2

b2

=1
∵M(2，

2

)在椭圆C上
∴

4

2b2

+

2

b2

=1
∴b²=4
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）证明：当切线l的斜率不存在时切线方程为x=±

2

6

3

与椭圆的两个交点为（

2

6

3

，±

2

6

3

）或（-

2

6

3

，±

2

6

3

）
此时

OA

?

OB

=0；
当切线l斜率存在时，可设l的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
则△=8k²-m²+4＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=

m2-8k2

1+2k2

∵l与圆x2+y2=

8

3

相切
∴d=

|m|

1+k2

=

8

3

∴3m²=8k²+8
∴

OA

?

OB

=x1x2+y1y2=

3m2-8k2-8

1+2k2

=0
综上所述

OA

?

OB

=0为定值．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且椭..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：