已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e=22，且过点M（2，1），又椭圆E上存在A、B两点关于直线l：y=x+m对称．（Ⅰ）求椭圆E的方程，（Ⅱ）求实数m的取值范围，（Ⅲ）设点P在直线l上，若∠A-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e=22，且过点M（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2

，且过点
M（2，1），又椭圆E上存在A、B两点关于直线l：y=x+m对称．
（Ⅰ）求椭圆E的方程，
（Ⅱ）求实数m的取值范围，
（Ⅲ）设点P在直线l上，若∠APB=

2π

3

，求S_△APB的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵

c

a

=

2

且

4

a2

+

1

b2

=1
∴a=

6

，b=

3

∴椭圆E得方程为：

x2

6

+

y2

3

=1

（Ⅱ）设直线AB的方程为y=-x+n，设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
由

x2+2y2-6=0

y=-x+n

得3x²-4nx+2n²-6=0
∵△＞0∴-3＜n＜3
∵

x1+x2=

2n

3

x1x2=

2n2-6

3

设A．B的中点C（x₀，y₀），
则

x0=

n

3

y0=

2n

3

点C在ly=-x+n上
∴n=3m即-3＜3m＜3得-1＜m＜1

（Ⅲ）依题意得：△APB是等腰三角形，∠APB=

2π

3

∴S△APB=

1

2

|AB|?(

|AB|

2

3

)=

3

12

|AB|2
∵|AB|=

2

|x1-x2|=

4

3

9-n2

∴|AB|2=

16

9

(9-n2)
∴当n=0时，S_△APB取最大值

4

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率e=22，且过点M（..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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