设椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，（1，32）为椭圆上一点，椭圆的长半轴长等于焦距，曲线C是以坐标原点为顶点，以F2为焦点的抛物线，自F1引直线交曲线C于P，Q两-数学试题及答案

1、试题题目：设椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，（1，3..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

设椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左，右焦点为F₁，F₂，（1，

3

2

）为椭圆上一点，椭圆的长半轴长等于焦距，曲线C是以坐标原点为顶点，以F₂为焦点的抛物线，自F₁引直线交曲线C于P，Q两个不同的交点，点P关于x轴的对称点记为M，设

F1P

=λ

F1Q

．
（1）求椭圆方程和抛物线方程；
（2）证明：

F2M

=-λ

F2Q

；
（3）若λ∈[2，3]，求|PQ|的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意，

1

a2

+

9

4

b2

=1

a=2c

，又a²=b²+c²，解得

a2=4

b2=3

，故椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1
∵F₂（1，0），设抛物线方程为y²=2px，则

p

2

=1，p=2，故抛物线方程为y²=4x
（2）∵F₁（-1，0），设过此点的直线方程为y=kx+k，并设p（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则M（x₁，-y₁）
由

y=kx+k

y2=4x

得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，△＞0时，x₁x₂=1 （1）
又∵

F1P

=λ

F1Q

，∴x₁+1=λ（x₂+1）（2），y₁=λy₂由（1）（2）得，x₁=λ，x₂=

1

λ

F2M

=（x₁-1，-y₁）=（λ-1，-y₁）-λ

F2Q

=-λ（x₂-1，y₂）=（λ-1，-λy₂）
故

F2M

=-λ

F2Q

（3）由（2）知可取 P（λ，

4λ

），Q（

1

λ

，

4

λ

），则|PQ|=

(λ-

1

λ

)2+(

4λ

-

4

λ

)2

=

(λ+

1

λ

)2+4(λ+

1

λ

)-12

∵λ∈[2，3]，∴λ+

1

λ

∈[

5

2

，

10

3

]，∴|PQ|∈（

(

5

2

)2+4(

5

2

) -12

，

(

10

3

)2+4(

10

3

)-12

）
故|PQ|∈（

17

4

，

112

9

）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左，右焦点为F1，F2，（1，3..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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