设双曲线C：x22-y2=1的左、右顶点分别为A1，A2垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点p，Q．（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且A1P?A2Q=1，求点T的坐标；（2）求直线A1P与A2Q-数学试题及答案

1、试题题目：设双曲线C：x22-y2=1的左、右顶点分别为A1，A2垂直于x轴的直线m与..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

设双曲线C：

x2

2

-y2=1的左、右顶点分别为A₁，A₂垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点p，Q．
（1）若直线m与x轴正半轴的交点为T，且

A1P

?

A2Q

=1，求点T的坐标；
（2）求直线A₁P与A₂Q的交点M的轨迹E的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意得A1(-

2

，0)，A2(

2

，0)，设P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），
则

A1P

=(x0+

2

，y0)，

A2Q

=(x0-

2

，-y0)．
由

A1P

?

A2Q

=1?

x

20

-

y

20

-2=1，
即x₀²-y₀²=3，①…（3分）
又P（x₀，y₀）在双曲线上，则

x

20

2

-

y

20

=1．②
联立①、②，解得：x₀=±2，由题意，x₀＞0，
∴x₀=2，
∴点T的坐标为（2，0）…（6分）
（2）设直线A₁P与A₂Q的交点M的坐标为（x，y），
由A₁，P，M三点共线，得：(x0+

2

)y=y0(x+

2

)，①
由A₂，Q，M三点共线，得：(x0-

2

)y=-y0(x-

2

)，②
联立①、②，解得：x0=

2

x

，y0=

2

y

x

．…（9分）
∵P（x₀，y₀）在双曲线上，
∴

(

2

x

)2

2

-(

2

y

x

)2=1
∴轨迹E的方程为

x2

2

+y2=1(x≠0，y≠0)．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设双曲线C：x22-y2=1的左、右顶点分别为A1，A2垂直于x轴的直线m与..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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