已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1），且过点A（2，t），（I）求t的值；（II）若点P、Q是抛物线C上两动点，且直线AP与AQ的斜率互为相反数，试问直线PQ的斜率是否为定值，若是，-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1），且过点A（2，t），（I）求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1），且过点A（2，t），
（I）求t的值；
（II）若点P、Q是抛物线C上两动点，且直线AP与AQ的斜率互为相反数，试问直线PQ的斜率是否为定值，若是，求出这个值；若不是，请说明理由．

试题来源：温州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）依照条件可知：抛物线过原点，且焦点在y轴上，设抛物线方程为x²=2py
由条件焦点为F（0，1），得抛物线方程为x²=4y …（3分）
∴把点A代入x²=4y，得t=1 …（6分）
（II）当K_AP和K_AQ不存在时，P或Q其中一点与A重合，一点与A平行于X轴，其中一个斜率为0，一个为无穷大，不符合题意．
设直线AP的斜率为k，AQ的斜率为-k，
则直线AP的方程为y-1=k（x-2），即y=kx-（2k-1）
联立方程：

y=kx-(2k-1)

x2=4y

消去y，得：x²-4kx+4（2k-1）=0 …（9分）
∵x_Ax_P=4（2k-1），A（2，1）
∴x_P=4k-2
∴y_P=4k²-4k+1
同理，得x_Q=-4k-2，y_Q=4k²+4k+1…（12分）
∴kPQ=

yQ-yP

xQ-xP

=-1是一个与k无关的定值．…（15分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（0，1），且过点A（2，t），（I）求..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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