已知动点P与双曲线x2-y23=1．的两焦点F1，F2的距离之和为大于4的定值，且|PF1|?|PF2|的最大值为9．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）若A，B是曲线E上相异两点，点M（0，2）满足AM=λM-数学试题及答案

1、试题题目：已知动点P与双曲线x2-y23=1．的两焦点F1，F2的距离之和为大于4的定..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知动点P与双曲线x2-

y2

3

=1．的两焦点F₁，F₂的距离之和为大于4的定值，且|

PF1

|?|

PF2

|的最大值为9．
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）若A，B是曲线E上相异两点，点M（0，2）满足

AM

=λ

MB

，求实数λ的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）双曲线x2-

y2

3

=1的焦点F₁（-2，0）．
设已知定值为2a，则|

PF

1|+|

PF2

|=2a，因此，动点P的轨迹E是以F₁（-2，0），F₂（2，0）为焦点，长轴长为2a的椭圆．
设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．（2分）
∵|

PF 1

|?|

PF 2

|≤(

|

PF 1

|+

PF 2

2

) 2=a2，
∴a²=9，b²=a²-c²=5，
∴动点P的轨迹E的方程

x2

9

+

y2

5

=1；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由点M（0，2）满足

AM

=λ

MB

，得：

-x 1=λx 2

-2-y 1=λ(y 2+2)

且M，A，B三点共线，设直线为l，
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx-2，则将直线的方程代入椭圆的方程，化简得：
（5+9k²）x²-36kx-9=0，根据根与系数的关系得：
x₁+x₂=

36k

5+9k 2

，x₁x₂=

-9

5+9k 2

，
将x₁=-λx₂，代入，消去x₂，得：

(1-λ) 2

λ

=

144k 2

5+9k 2

，
化得：

(1-λ) 2

λ

=

144k 2

5+9k 2

=

144

5

k 2

+9

∴0＜

(1-λ) 2

λ

＜ 16，
解之得：实数λ的取值范围为[9-4

5

，9+4

5

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知动点P与双曲线x2-y23=1．的两焦点F1，F2的距离之和为大于4的定..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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