已知函数f（x）=x+ax的定义域为（0，+∞），a＞0且当x=1时取得最小值，设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．（1）求a的值；（2）问：PM?PN是否-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x+ax的定义域为（0，+∞），a＞0且当x=1时取得最小..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x+

a

x

的定义域为（0，+∞），a＞0且当x=1时取得最小值，设点P是函数图象上的任意一点，过点P分别作直线y=x和y轴的垂线，垂足分别为M、N．
（1）求a的值；
（2）问：PM?PN是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，请说明理由；
（3）设O为坐标原点，求四边形OMPN面积的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：基本不等式及其应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵x＞0，a＞0
∴f(x)=x+

a

x

≥2

a

，当且仅当x=

a

x

即x=

a

时，f（x）取得最小值，
∴

a

=1∴a=1--------------------（5分）
（2）设p(t，t+

1

t

)(t＞0)，
则：PM=

1

t

2

=

1

2

t

，PN=t，
∴PM?PN=

2

（定值）--（10分）
(3)OM=

2t+

1

t

2

∴SOMPN=S△OPM+S△OPN=

1

2

?

1

2

t

?

2t+

1

t

2

+

1

2

t?(t+

1

t

)=1+

1

2

(

1

2t2

+t2)≥1+

1

2

×2

1

2

=1+

2

（当t=

4

1

2

时取等号）
∴四边形OMPN面积最小值为1+

2

．----------------------------------（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x+ax的定义域为（0，+∞），a＞0且当x=1时取得最小..”的主要目的是检查您对于考点“高中基本不等式及其应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中基本不等式及其应用”。

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