已知数列an满足递推关系式：2an+1=1-an2（n≥1，n∈N），且0＜a1＜1．（1）求a3的取值范围；（2）用数学归纳法证明：|an-(2-1)|＜12n（n≥3，n∈N）；（3）若bn=1an，求证：|bn-(2+1)|＜122n（n≥3，-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列an满足递推关系式：2an+1=1-an2（n≥1，n∈N），且0＜a1＜1．（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-01 07:30:00

试题原文

已知数列a_n满足递推关系式：2a_n+1=1-a_n²（n≥1，n∈N），且0＜a₁＜1．
（1）求a₃的取值范围；
（2）用数学归纳法证明：|an-(

2

-1)|＜

1

2n

（n≥3，n∈N）；
（3）若bn=

1

an

，求证：|bn-(

2

+1)|＜

12

2n

（n≥3，n∈N）．

试题来源：武汉模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：数学归纳法证明不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵a2=

1

2

(1-a21)，且a₁∈（0，1），由二次函数性质可知a₂∈（0，

1

2

）．
∵a3=

1

2

(1-

a

22

)及a2∈(0，

1

2

)∴a3∈(

3

8

，

1

2

)．(3分)
（2）证明：①在（1）的过程中可知n=3时，

3

8

＜a3＜

1

2

，
则-

1

8

＜

3

8

-(

2

-1)＜a3-(

2

-1)＜

1

2

-(

2

-1)＜

1

8

，
于是当n=3时，|an-(

2

-1)|＜

1

2n

成立．
②假设在n=k（k≥3）时，|an-(

2

-1)|＜

1

2n

（*）成立，即|ak-(

2

-1)|＜

1

2k

．
则当n=k+1时，|ak+1-(

2

-2)|=|

1

2

-

1

2

a

2k

-(

2

-1)|=

1

2

|ak-(

2

-1)|?|ak+

2

-1|，
其中0＜ak+

2

-1＜2(

2

-1)+

1

2k

＜1(k≥3)
于是|ak+1-(

2

-1)|＜

1

2

|ak-(

2

-1)|＜

1

2k+1

，
从而n=k+1时（*）式得证．
综合①②可知：n≥3，n∈{N}时|an-(

2

-1)|＜

1

2n

．

（3）由|an-(

2

-1)|＜

1

2n

(n≥3)变形为：|

1

2

-1

-

1

an

|＜

1

2n

?

1

(

2

-1)|an|

=

2

+1

2n

?

1

|an|

，
而由

2

-1-

1

2n

＜an＜

2

-1+

1

2n

（n≥3，n∈N）
可知：

2

-1-

1

8

＜an＜

2

+1+

1

8

在n≥3上恒成立，
于是

1

an

＜

1

2

-1-

1

8

，

2

+1

an

＜

2

+1

2

-1-

1

8

＜12，
又∵|an-(

2

-1)|＜

1

2n

，∴|

1

an

-(

2

+1)|＜

12

2n

，
从而原不等式|bn-(

2

+1)|＜

12

2n

（n≥3，n∈N）得证．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列an满足递推关系式：2an+1=1-an2（n≥1，n∈N），且0＜a1＜1．（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中数学归纳法证明不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中数学归纳法证明不等式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：