已知存在实数ω，φ（其中ω≠0，ω∈Z）使得函数f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函数，且在（0，π4）上是增函数．（1）试用观察法猜出两组ω与φ的值，并验证其符合题意；（2）求出所有符合题意的ω与φ的-数学试题及答案

1、试题题目：已知存在实数ω，φ（其中ω≠0，ω∈Z）使得函数f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-10 07:30:00

试题原文

已知存在实数ω，φ（其中ω≠0，ω∈Z）使得函数f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函数，且在（0，

π

4

）上是增函数．
（1）试用观察法猜出两组ω与φ的值，并验证其符合题意；
（2）求出所有符合题意的ω与φ的值．

试题来源：上海模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）猜想：

ω=1

?=-

π

2

或

ω=-2

?=

π

2

；（4）分
由

ω=1

?=-

π

2

知f(x)=2cos(x-

π

2

)=2sinx，而f（x）=2sinx为奇函数且在(0，

π

4

)上是增函数．（6分）
由

ω=-2

?=

π

2

知f(x)=2cos(-2x+

π

2

)=2sin2x，而f（x）=2sin2x为奇函数且在(0，

π

4

)上是增函数．（8分）

（2）由f（x）为奇函数，有f（-x）=-f（x）
∴2cos（-ωx+φ）=-2cos（ωx+φ）
所以2cosωx?cosφ=0，
又x∈R，∴cosωφ≠0，∴cosφ=0，
解得?=kπ+

π

2

，k∈Z．（10分）
当k=2n（n∈Z）时，f(x)=2cos(ωx+2nπ+

π

2

)=2sin(-ωx)为奇函数，
由于f（x）在(0，

π

4

)上是增函数，
所以ω＜0，由-

π

2

≤-ωx≤

π

2

?

π

2ω

≤x≤

-π

2ω

，
又f（x）在(0，

π

4

)上是增函数，故有(0，

π

4

)?[

π

2ω

，

-π

2ω

]，

π

4

≤

-π

2ω

，-2≤ω＜0，且ω=Z，
∴ω=-1或-2，故

ω=-1或-2

?=2nπ+

π

2

，n∈Z

．（12分）
当k=2n+1（n∈Z）时，f(x)=2cos(ωx+2nπ+π+

π

2

)=-2sin(ωx)为奇函数，
由于f（x）在(0，

π

4

)上是增函数，
所以ω＞0，由-

π

2

≤ωx≤

π

2

?-

π

2ω

≤x≤

π

2ω

，
又f（x）在(0，

π

4

)上是增函数，故有(0，

π

4

)?[-

π

2ω

，

π

2ω

]，

π

4

≤

π

2ω

，0＜ω≤2，且ω=Z，
∴ω=1或2，故

ω=1或2

?=(2n+1)π+

π

2

，n∈Z

（14分）
所以所有符合题意的ω与φ的值为：

ω=-1或-2

?=2nπ+

π

2

，n∈Z

或

ω=1或2

?=(2n+1)π+

π

2

，n∈Z

（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知存在实数ω，φ（其中ω≠0，ω∈Z）使得函数f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：