设α∈（0，π2），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，对定义域内任意的x，y，满足f（x+y2）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y），求：（1）f（12）及sinα的值；（2）函数g（x）=sin（α-2x）的单-数学试题及答案

1、试题题目：设α∈（0，π2），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，对定..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-10 07:30:00

试题原文

设α∈（0，

π

2

），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，对定义域内任意的x，y，满足f（

x+y

2

）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y），求：
（1）f（

1

2

）及sinα的值；
（2）函数g（x）=sin（α-2x）的单调递增区间；
（3）（理）n∈N时，a_n=

1

2n

，求f（a_n），并猜测x∈[0，1]时，f（x）的表达式（不需证明）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（

1

2

）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sinα，
又：f（

1

2

）=f（0）sinα+（1-sinα）f（1）=1-sinα，
∴sinα=1-sinα?sinα=

1

2

∴f（

1

2

）=1-

1

2

=

1

2

（2）由（1）知：sinα=

1

2

，又α∈（0，

π

2

）
∴α=

π

6

∴g（x）=sin（

π

6

-2x），
∴g（x）的增区间为[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]（k∈Z）．
（3）∵n∈N，a_n=

1

2n

，f（a_n）=f（

1

2n

）（n∈N，n≥2）
∴f（a_n）是首项为f（a₁）=

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，故f（a_n）=f（a₁）?q^n-1′=

1

2n

，猜测：f（x）=x．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设α∈（0，π2），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，对定..”的主要目的是检查您对于考点“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：