繁体字转换器繁体字网旗下考试题库之数学试题栏目欢迎您！
1、试题题目：已知数列{an}是首项a1=133，公比q=133的等比数列，设bn+15log3an..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

已知数列{an}是首项a1=
1
33
，公比q=
1
33
的等比数列，设bn+15log3an=t，常数t∈N*，数列{cn}满足cn=anbn．
（1）求证：{bn}是等差数列；
（2）若{cn}是递减数列，求t的最小值；
（3）是否存在正整数k，使ck，ck+1，ck+2重新排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，说明理由．

  试题来源：宝山区一模   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：等差数列的定义及性质



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）由题意知，an=(
1
33
)n，（1分）
因为bn+1-bn=-15log3(
an+1
an
)=5，b1=-15log3a1+t=t+5
∴数列bn是首项为b1=t+5，公差d=5的等差数列．（4分）
（2）由（1）知，bn=5n+t，cn=(5n+t)(
1
33
)n，cn+1-cn=(
5n+5+t
33
-5n-t)(
1
33
)n＜0恒成立，即t＞-5n+
5
33
-1
恒成立，（7分）
因为f(n)=-5n+
5
33
-1
是递减函数，
所以，当n=1时取最大值，f(n)max=-5+
5
33
-1
≈6.3，（9分）
因而t＞6.3，因为t∈N，所以t=7．（10分）
（3）记5k+t=x，ck=(5k+t)(
1
33
)k=x(
1
33
)k，ck+1=(5k+5+t)(
1
33
)k+1=(x+5)(
1
33
)k+1，ck+2=(5k+10+t)(
1
33
)k+2=(x+10)(
1
33
)k+2．
①若ck是等比中项，则由ck+1?ck+2=ck2得(x+5)(
1
33
)k+1?(x+10)(
1
33
)k+2=x2(
1
33
)2k化简得2x2-15x-50=0，解得x=10或x=-
5
2
（舍），（11分）
所以5n+t=10，因而
k=1
t=5
及
k=2
t=0
．
又由常数t∈N*，则
k=2
t=0
舍去，
②若ck+1是等比中项，则由ck?ck+2=ck+12得x(
1
33
)k?(x+10)(
1
33
)k+2=(x+5)2(
1
33
)2k+2
化简得x（x+10）=（x+5）2，显然不成立．（16分）
③若ck+2是等比中项，则由ck?ck+1=ck+22得x(
1
33
)k?(x+5)(
1
33
)k+1=(x+10)2(
1
33
)2k+4
化简得2x2-5x-100=0，因为△=52+4×2×100=25×33不是完全不方数，因而x的值是无理数，显然不成立．
则符合条件的k、t的值为
k=1
t=5
．（18分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}是首项a1=133，公比q=133的等比数列，设bn+15log3an..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。


4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

数学试题大全 2016-03-04更新的数学试题 网站地图 | 繁体字网 -- 为探究古典文化架桥，为弘扬中华文明助力！
版权所有： CopyRight © 2010-2014 www.fantiz5.com All Rights Reserved.
联系我们：