已知函数f（x）=log2x，设f(a1)，f(a2)，f(a3)，…，f(an)，…，(n∈N*)是首项和公差都等于1的等差数列．数列{bn}满足bn=an+3n(n∈N*)．（1）求数列{an}的通项公式，并证明数列{bn}不是-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=log2x，设f(a1)，f(a2)，f(a3)，…，f(an)，…，(n∈N..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=log₂x，设f(a1)，f(a2)，f(a3)，…，f(an)，…，(n∈N*)是首项和公差都等于1的等差数列．数列{b_n}满足bn=an+3n(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式，并证明数列{b_n}不是等比数列；
（2）令cn=

2n-1

an

，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求证：S_n＜3．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可得 f（a_n）=n=log₂a_n，∴an=2n，故数列{a_n}是等比数列．
假设数列{b_n}是等比数列，bn=2n+3n，则有 b22=b1b3．
由因为 b22=132，b1b3=5×35，∴b22≠b1b3，与假设矛盾，所以假设不成立．
∴数列{b_n}不是等比数列．（6分）
（2）∵cn=

2n-1

an

，S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
∴Sn=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，…①
∴

1

2

Sn=

1

22

+

3

23

+

5

24

+…+

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，…②，
①-②得

1

2

Sn=

1

2

+

2

22

+

2

23

+

2

24

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+(

1

21

+

1

22

+

1

23

+…+

2

2n-1

)-

2n-1

2n+1

=

1

2

+

1

2

[1-(

1

2

)n-1]

1-

1

2

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+1-(

1

2

)n-1-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

，
∴Sn=3-

2n+3

2n

＜3．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=log2x，设f(a1)，f(a2)，f(a3)，…，f(an)，…，(n∈N..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：