已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=4an+1，设bn=an+1-2an．（Ⅰ）证明数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）数列{cn}满足cn=1log2bn+3（n∈N*），设Tn=c1c2+c2c3+c3c4+，…+cncn+1，求证，对-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=4an+1，设bn=an+1-2an．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-08 07:30:00

试题原文

已知数列{ a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+1=4a_n+1，设b_n=a_n+1-2a_n．
（Ⅰ）证明数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）数列{c_n}满足cn=

1

log2bn+3

（n∈N^*），设T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+，…+c_nc_n+1，求证，对一切n∈N^*不等式Tn＜

1

4

恒成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）由于S_n+1=4a_n+1，①
当n≥2时，S_n=4a_n-1+1． ②
①-②得 a_n+1=4a_n-4a_n-1．所以a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1）．
又b_n=a_n+1-2a_n，所以b_n=2b_n-1．
因为a₁=1，且a₁+a₂=4a₁+1，所以a₂=3a₁+1=4．所以b₁=a₂-2a₁=2．
故数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=2ⁿ，则c_n=

1

log2bn+3

=

1

n+3

（n∈N^*）．
T_n=c₁c₂+c₂c₃+c₃c₄+…+c_nc_n+1=

1

4×5

+

1

5×6

+

1

6×7

+…+

1

(n+3)(n+4)

=

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

+…+

1

n+3

-

1

n+4

=

1

4

-

1

n+4

＜

1

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn+1=4an+1，设bn=an+1-2an．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：