如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＜0）。（1）求b的值；（2）求x1·x2的值；（3）分别过M、N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是M1、-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-23 07:30:00

试题原文

如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线

交于M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）两点（其中x₁＜0，x₂＜0）。
（1）求b的值；
（2）求x₁·x₂的值；
（3）分别过M、N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是M₁、N₁，判断△M₁FN₁的形状，并证明你的结论；
（4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切，如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由。

试题来源：湖北省中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）b=1；
（2）显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=-4；
（3）△M₁FN₁是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M₁的横坐标为x₁，N₁的横坐标为x₂，设M₁N₁交y轴于F₁，则F₁M₁·F₁N₁=-x₁·x₂=4，而FF₁=2，所以F₁M₁·F₁N₁=F₁F²，另有∠M₁F₁F=∠FF₁N₁=90°，易证Rt△M₁FF₁∽Rt△N₁FF₁，得∠M₁FF₁=∠FN₁F₁，故∠M₁FN₁=∠M₁FF₁+∠F₁FN₁=∠FN₁F₁+∠F₁FN₁=90°，所以△M₁FN₁是直角三角形；
（4）存在，该直线为y=-1，理由如下：直线y=-1即为直线M₁N₁，如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为，计算知NN₁=， NF=，得NN₁=NF，同理MM₁=MF，那么MN=MM₁+NN₁，作梯形MM₁N₁N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=（MM₁+NN₁）=MN，即圆心到直线y=-1的距离等于圆的半径，所以y=-1总与该圆相切。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线交于M（x1，y1）和N（x2..”的主要目的是检查您对于考点“初中直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

解：（1）b=1；
（2）显然和是方程组的两组解，解方程组消元得，依据“根与系数关系”得=-4；
（3）△M₁FN₁是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知M₁的横坐标为x₁，N₁的横坐标为x₂，设M₁N₁交y轴于F₁，则F₁M₁·F₁N₁=-x₁·x₂=4，而FF₁=2，所以F₁M₁·F₁N₁=F₁F²，另有∠M₁F₁F=∠FF₁N₁=90°，易证Rt△M₁FF₁∽Rt△N₁FF₁，得∠M₁FF₁=∠FN₁F₁，故∠M₁FN₁=∠M₁FF₁+∠F₁FN₁=∠FN₁F₁+∠F₁FN₁=90°，所以△M₁FN₁是直角三角形；
（4）存在，该直线为y=-1，理由如下：直线y=-1即为直线M₁N₁，如图，设N点横坐标为m，则N点纵坐标为，计算知NN₁=， NF=，得NN₁=NF，同理MM₁=MF，那么MN=MM₁+NN₁，作梯形MM₁N₁N的中位线PQ，由中位线性质知PQ=（MM₁+NN₁）=MN，即圆心到直线y=-1的距离等于圆的半径，所以y=-1总与该圆相切。