已知函数f(x)=13x3-ax^+(a^-1)x+b(a，b∈R)．（I）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求实数a、b的值．（II）当a≠0时，若f（x）在（-1，1）上不单调，求实数a的取值范-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13x3-ax^+(a^-1)x+b(a，b∈R)．（I）若y=f（x）的图象在点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

x3-ax^+(a^-1)x+b(a，b∈R)．
（I）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求实数a、b的值．
（II）当a≠0时，若f（x）在（-1，1）上不单调，求实数a的取值范围．

试题来源：石家庄二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）依题意，1+f（1）-3=0∴f（1）=2．
即2=

1

3

-a+a2-1+b，a2-a+b-

8

3

=0．…（2分）∵切线x+y-3=0的斜率为-1，∴f'（1）=-1，即a²-2a+1=0，a=1．…（4分）
代入解得b=

8

3

．…6 分
（Ⅱ）因为函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，
所以方程f'（x）=0在（-1，1）上有解．…（8分）
因为f'（x）=x²-2ax+a²-1=[x-（a-1）]?[x-（a+1）]
所以-1＜a-1＜1或-1＜a+1＜1…（10分）∴a∈（-2，0）∪（0，2）…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13x3-ax^+(a^-1)x+b(a，b∈R)．（I）若y=f（x）的图象在点..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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