已知函数：f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45o，是否存在实数m使得对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x3+-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数：f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）若..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知函数：f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45^o，是否存在实数m使得对于任意的t∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[

]在区间（t，3）上总不是单调函数？若存在，求m的取值范围；否则，说明理由；
（Ⅲ）求证：

（n≥2，n∈N*）．

试题来源：福建省期中题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）解：

，
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a=0时，f（x）不是单调函数
（II）解：f′（2）=﹣

=1得a=﹣2，f（x）=﹣2lnx+2x﹣3
∴g（x）=x³+（

+2）x²﹣2x，
∴g'（x）=3x²+（m+4）x﹣2
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）=﹣2
∴g′（t）＜0，g′（3）＞0
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有

，
∴存在﹣

＜m＜﹣9
（Ⅲ）证明：令a=﹣1此时f（x）=﹣lnx+x﹣3，所以f（1）=﹣2，
由（I）知f（x）=﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴

∴

（n≥2，n∈N*）。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数：f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（I）讨论函数f（x）的单调性；（II）若..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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