发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-05 07:30:00
(1)解:∵f(x)=ex﹣2x+2a,x∈R,∴f'(x)=ex﹣2,x∈R. 令f'(x)=0,得x=ln2. 于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:故f(x)的单调递减区间是(﹣∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞),f(x)在x=ln2处取得极小值,极小值为f(ln2)=eln2﹣2ln2+2a=2(1﹣ln2+a).(2)证明:设g(x)=ex﹣x2+2ax﹣1,x∈R,于是g′(x)=ex﹣2x+2a,x∈R.由(1)知当a>ln2﹣1时, g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1﹣ln2+a)>0.于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.于是当a>ln2﹣1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.即ex﹣x2+2ax﹣1>0,故ex>x2﹣2ax+1.
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设a为实数,函数f(x)=ex﹣2x+2a,x∈R.(1)求f(x)的单调区间及极值;..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的单调性与导数的关系”。