已知函数f（x）=ax2+bx+c和函数g（x）=ln（1+x2）+ax（a＜0）．（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）已知关于x的方程f（x）=x没有实数根，求证方程f（f（x））=x也没有实数根；（Ⅲ）证明：．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax2+bx+c和函数g（x）=ln（1+x2）+ax（a＜0）．（Ⅰ）求函数g（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax²+bx+c和函数g（x）=ln（1+x²）+ax（a＜0）．
（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知关于x的方程f（x）=x没有实数根，求证方程f（f（x））=x也没有实数根；
（Ⅲ）证明：

．

试题来源：四川省模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）解：

①当

，即a≤﹣1时，g′（x）≤0对x∈R恒成立，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；
②当﹣1＜a＜0时，令g′（x）＞0，则ax²+2x+a＞0
∴

，
令g′（x）＜0，则ax²+2x+a＜0
∴

或

，
∴

上单调递增，在

和

上单调递减；
综上所述，当a≤﹣1时，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，
当﹣1＜a＜0时，g（x）在

上单调递增，
在

和

上单调递减．
（Ⅱ）证明：∵关于x的方程f（x）=x没有实数根
∴ax²+bx+c=x没有实数根
∴ax²+（b﹣1）x+c=0没有实数根
∴△=（b﹣1）²﹣4ac＜0
∵f（f（x））=x
∴a（ax²+bx+c）²+b（ax²+bx+c）+c=x
∴[ax²+（b﹣1）x+c][a²x²+a（b+1）x+b+ac+1]=0
∵ax²+（b﹣1）x+c≠0
∴a²x²+a（b+1）x+b+ac+1=0
∵△=a²（b+1）²﹣4a²（b+ac+1）=a²[（b+1）²﹣4（b+ac+1）]=a²[（b﹣1）²﹣4ac﹣4]＜0
∴a²x²+a（b+1）x+b+ac+1=0无实根
∴方程f（f（x））=x也没有实数根；
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a=﹣1时，g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，
当x∈（0，+∞）时，由g（x）＜g（0）=0
得：ln（1+x²）＜x，
∴

=lne，
∴

e

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax2+bx+c和函数g（x）=ln（1+x2）+ax（a＜0）．（Ⅰ）求函数g（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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