已知函数f（x）=lnx，g（x）=（m+1）x2﹣x（m≠﹣1）．（I）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线，求实数m的值和P的坐标；（II）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx，g（x）=（m+1）x2﹣x（m≠﹣1）．（I）若函数y=f（x）与y=g（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx，g（x）=（m+1）x²﹣x（m≠﹣1）．
（I）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线，求实数m的值和P的坐标；
（II）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点M、N，求实数m的取值范围；
（III）在（II）的条件下，过线段MN的中点作x轴的垂线分别与f（x）的图象和g（x）的图象交于S、T点，以S点为切点作f（x）的切线l₁，以T为切点作g（x）的切线l₂，是否存在实数m，使得l₁

l₂？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由．

试题来源：浙江省模拟题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（I）设函数y=f（x）与y=g（x）图象的公共点为P（x₀，y₀），
则有lnx₀=（m+1）x₀²﹣x₀①，
又在点P处有共同的切线，
∴

，②
②代入①，得

．
设

．
所以，函数h（x）最多只有1个零点，观察得x₀=1是零点，
故m=0．
此时，点P（1，0）；
（II）根据（I）知，当m=0时，两条曲线切于点P（1，0），
此时，变化的y=g（x）的图象的对称轴是x=

，
而y=f（x）是固定不变的，如果继续让对称轴向右移动，即

，
解得﹣1＜m＜0．
两条曲线有两个不同的交点，
当m＜﹣1时，开口向下，只有一个交点，显然不合题意，所以，有﹣1＜m＜0；
（III）假设存在这样的m，不妨设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），且x₁＞_x2，
则MN中点的坐标为

．
以S为切线的切线l₁的斜率

，
以T为切点的切线l₂的斜率

．
如果存在m，使得k_s=k_T，即

．③
而且有lnx₁=（m+1）x₁²﹣x₁和lnx₂=（m+1）x₂²﹣x₂．
如果将③的两边同乘以x₁﹣x₂，得
④

，
即

，
也就是

．
设μ=

，则有

．
令

（μ＞1），
则

．
∵μ＞1，
∴h'（μ）＞0．因此，h（μ）在[1，+∞]上单调递增，
故h（μ）＞h（1）=0．
∴

⑤
∴④与⑤矛盾．
所以，不存在实数m使得l₁

l₂．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx，g（x）=（m+1）x2﹣x（m≠﹣1）．（I）若函数y=f（x）与y=g（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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