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1、试题题目：已知函数f（x）=lnx，（I）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-05 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx，
（I）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（II）在（I）的结论下，设φ（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数φ（x）的最小值；
（III）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求出R的横坐标；若不存在，请说明理由．

  试题来源：北京期中题   试题题型：解答题   试题难度：偏难   适用学段：高中   考察重点：函数的单调性与导数的关系



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
解：（I）依题意：h（x）=lnx+x2﹣bx．
∵h（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴  对x∈（0，+∞）恒成立，
∴，
∵x＞0，则．
∴b的取值范围是．
（II）设t=ex，则函数化为y=t2+bt，t∈[1，2]．
∵．
∴当，即时，函数y在[1，2]上为增函数，当t=1时，ymin=b+1；
当1＜﹣＜2，即﹣4＜b＜﹣2时，当t=﹣时，；
，即b≤﹣4时，函数y在[1，2]上是减函数， 当t=2时，ymin=4+2b．
综上所述：
（III）设点P、Q的坐标是（x1，y1），（x2，y2），且0＜x1＜x2．
则点M、N的横坐标为．
C1在点M处的切线斜率为．
C2在点N处的切线斜率为．
假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1=k2．即．
则
                                                                               =，
∴
设，则，                                                        （1）
令，则，
∵u＞1，∴r'（u）＞0，
所以r（u）在[1，+∞）上单调递增，r（u）＞r（1）=0，则，与（1）矛盾！
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx，（I）若a=﹣2时，函数h（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域内..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。


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