设a为正实数，函数f（x）=x3-ax2-a2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）设函数y=f（x）至多有两个零点，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设a为正实数，函数f（x）=x3-ax2-a2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

设a为正实数，函数f（x）=x³-ax²-a²x+1，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）设函数y=f（x）至多有两个零点，求实数a的取值范围．

试题来源：肇庆二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由f（x）=x³-ax²-a²x+1，得f'（x）=3x²-2ax-a²．（2分）
令f'（x）=3x²-2ax-a²=0，得x1=-

a

3

，x2=a(a＞0)，

x

(-∞，-

a

3

)

-

a

3

(-

a

3

，a)

a

（a，+∞）

f（x）

+

0

-

0

+

f（x）

增

极大

减

极小

增

（5分）
∴f(x)极大=f(-

a

3

)=(-

a

3

)3-a(-

a

3

)2-a2×(-

a

3

)+1=

5

27

a3+1（6分）
f(x)极小=f(a)=a3-a3-a3+1=1-a3（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（x）在(-∞，-

a

3

)上递增，在(-

a

3

，a)上递减，在（a，+∞）上递增，
f(x)极大=f(-

a

3

)=

5

27

a3+1＞0(a＞0)，f(x)极小=f(a)=a3-a3-a3+1=1-a3（9分）
当极小值f（a）=1-a³≥0，即0＜a≤1时，y=f（x）在x∈(-

a

3

，+∞)上有1个或0个零点，
此时f（-1）=a²-a=a（a-1）≤0，∴y=f（x）在x∈(-∞，-

a

3

)上有1个零点，
∴0＜a≤1时，y=f（x）有1个或2个零点；（11分）
当极小值f（a）=1-a³＜0，即a＞1时，y=f（x）在x∈(-

a

3

，+∞)上有2个零点，
此时f（-a）=1-a³＜0，y=f（x）在x∈(-∞，-

a

3

)上有1个零点，
∴当a＞1时，y=f（x）有3个零点；（13分）
综上，若函数y=f（x）至多有两个零点，则a的取值范围是a∈（0，1]．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设a为正实数，函数f（x）=x3-ax2-a2x+1，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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