已知函数f（x）=2lnx-x2-ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）如果函数f（x）有两个不同的零点x1，x2且x1＜x2，证明：对满足p+q=1，p≤q的任意正常数，f′（px1+qx2）＜0恒成立．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=2lnx-x2-ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）如果..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=2lnx-x²-ax（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）如果函数f（x）有两个不同的零点x₁，x₂且x₁＜x₂，证明：对满足p+q=1，p≤q的任意正常数，f′（px₁+qx₂）＜0恒成立．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数的定义域为（0，+∞），则f′(x)=

2

x

-2x-a=-

2x2+ax-2

x

，令f'（x）=0，解得
x3=

-a-

a2+16

4

＜0，x4=

-a+

a2+16

4

＞0，所以当0＜x＜x₄时，f'（x）＞0，此时函数单调递增．
当x＞x₄时，f'（x）＜0，此时函数单调递减．
所以函数的单调递增区间为(0，

-a+

a2+16

4

)，单调递减区间为[

-a+

a2+16

4

，+∞)．
（2）因为函数f（x）有两个不同的零点x₁，x₂且x₁＜x₂，所以

2lnx1-

x

21

-ax1=0

2lnx2-

x

22

-ax2=0

，两式相减得a=

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

-(x1+x2)，
因为f′(x)=

2

x

-2x-a=-

2x2+ax-2

x

，
所以f′(px1+qx2)=

2

px1+qx2

-2(px1+qx2)-[

2(ln?x1-ln?x2)

x1-x2

-(x1+x2)]
=

2

px1+qx2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

+(2p-1)(x2-x1)，
因为2p≤p+q=1，x₂＞x₁，所以（2p-1）（x₂-x₁）≤0，要证f′（px₁+qx₂）＜0，只要证明

2

px1+qx2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

＜0即可，即只要证明

x2-x1

px1+qx2

+ln

x1

x2

＜0即可．
令

x1

x2

=t，0＜t＜1，即只要证明g(t)=

1-t

pt+q

+ln?t＜0在0＜t＜1上恒成立即可．g′(t)=

-1×(pt+q)-(1-t)p

(pt+q)2

+

1

t

=-

1

(pt+q)2

+

1

t

=

p2(t-1)(t-

q2

p2

)

t(pt+q)2

，
因为p+q=1，0＜p≤q，所以

q

p

≥1，

q2

p2

≥1，所以当0＜t＜1时，t-1＜0，t-

q2

p2

＜0，
所以g'（x）＜0，所以函数g（t）在（0，1）上为增函数，所以g（t）＜g（1）=0．
所以

x2-x1

px1+qx2

+ln

x1

x2

＜0，故所证明的不等式成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=2lnx-x2-ax（a∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）如果..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：