已知函数f（x）=-x3+ax2-4（a∈R）．若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为π4．（Ⅰ）设f（x）的导函数是f‘（x），若s，t∈[-1，1]，求f‘（s）+f（t）的最小值；（Ⅱ）对实数k的值-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=-x3+ax2-4（a∈R）．若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=-x³+ax²-4（a∈R）．若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为

π

4

．
（Ⅰ）设f（x）的导函数是f'（x），若s，t∈[-1，1]，求f'（s）+f（t）的最小值；
（Ⅱ）对实数k的值，讨论函数F（x）=f（x）-k零点的个数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f'（1）=1?a=2?f（x）=-x³+2x²-4?f'（x）=-3x²+4x（3分）
因s，t互相独立，故只要分别求f'（s），f（t），s，t∈[-1，1]的最小值即可
当s=-1，t=0时，f'（s）+f（t）的最小值为-11
（II）等价于讨论f（x）=k的实根的个数

x

（-∞，0）

0

(0，

4

3

)

4

3

(

4

3

，+∞)

f'（x）

-

0

+

0

-

f（x）

↘

-4

↗

-

76

27

↘

∴k＞-

76

27

或k＜-4，一解；k=-

76

27

或k=-4，二解；-4＜k＜-

76

27

，三解．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=-x3+ax2-4（a∈R）．若函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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