已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex的定义域为（-2，t）（t＞-2）（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在（-2，t）上为单调函数．（2）求证：对于任意t＞-2，总存在x0满足f′(x0)ex0=23(t-1)2并确定-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex的定义域为（-2，t）（t＞-2）（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x²-3x+3）e^x的定义域为（-2，t）（t＞-2）
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在（-2，t）上为单调函数．
（2）求证：对于任意t＞-2，总存在x₀满足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2并确定这样的x₀个数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=（2x-3）e^x+（x²-3x+3）e^x=（x²-x）e^x=x（x-1）e^x=0，得x=0或x=1
由f′（x）＞0?x＜0，或x＞1；f′（x）＜0?0＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴要使f（x）在（-2，t）上为单调函数，则-2＜t≤0．（6分）
（2）∵

f′(x0)

ex0

=x

20

-x0，
∴

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，
即为x₀²-x₀=

2

3

(t-1)2，
令g（x）=x²-x-

2

3

(t-1)2，从而问题转化为证明方程g（x）=x2-x-

2

3

(t-1)2=0在（-2，t）上有解并讨论解的个数，
因为g（-2）=6-

2

3

（t-1）²=-

2

3

(t-4)(t+2)，g（t）=t（t-1）-

2

3

(t-1)2=

1

3

(t+2)(t-1)，
所以当t＞4或-2＜t＜1时，g（-2）?g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，
当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-

4

3

(t-1)2＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解，
当t=1时，g（x）=x²-x=0，解得x=0或1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解，
当t=4时，g（x）=x²-x-6=0，
所以g（x）=0在（-2，t）上也有且只有一解，
综上所述，对于任意的t＞-2，总存在x₀∈（-2，t），满足

f′(x0)

ex0

=

2

3

(t-1)2，
且当t≥4或-2＜t≤1时，有唯一的x₀适合题意，
当1＜t＜4时，有两个x₀适合题意．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x2-3x+3）ex的定义域为（-2，t）（t＞-2）（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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