已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；（2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②对任意x∈R，都有-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个数；
（2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：①对任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；②对任意x∈R，都有0≤f(x)-x≤

1

2

(x-1)2，若存在，求出a，b，c的值，若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0即b=a+c，
故△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²
当a=c时，△=0，函数f（x）有一个零点；
当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点．
（2）假设存在a，b，c满足题设，由条件①知抛物线的对称轴为x=-1
且f(x)min=0；?∴

-

b

2a

=-1

4ac-b2

4a

=0

?

b=2a

b2=4ac

?a=c
在条件②中令x=1，有0≤f（1）-1≤0，?
∴f（1）=1，
?即a+b+c=1
由

a+b+c=1

b=2a

a=c

?a=c=

1

4

， b=

1

2

（检验略）
∴存在a=

1

4

， b=

1

2

， c=

1

4

使f（x）同时满足条件①②．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点个..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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