已知函数fn（x）=x3-nx-1（x＞0，n∈N*）．（Ⅰ）求函数f3（x）的极值；（Ⅱ）判断函数fn（x）在区间(n，n+1)上零点的个数，并给予证明．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数fn（x）=x3-nx-1（x＞0，n∈N*）．（Ⅰ）求函数f3（x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f_n（x）=x³-nx-1（x＞0，n∈N^*）．
（Ⅰ）求函数f₃（x）的极值；
（Ⅱ）判断函数f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上零点的个数，并给予证明．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f3(x)=x3-3x-1，∴f3′(x)=3x2-3，
∵当x＞1时，f3′(x)＞0；当0＜x＜1时，f3′(x)＜0．
∴当x=1时，f₃（x）取得极小值-3，无极大值；
（Ⅱ）函数f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上有且只有一个零点．
证明：
∵fn(

n

)=(

n

)3-n

n

-1=-1＜0，
fn(

n+1

)=(

n+1

)3-n

n+1

-1=

n+1

-1＞0，
fn(

n

)?fn(

n+1

)＜0，∴函数f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上必定存在零点．
∵fn′(x)=3x2-n，∴当x∈(

n

，

n+1

)时，fn′(x)＞3(

n

)2-n=2n＞0，
∴f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上单调递增，
∴函数f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上的零点最多一个．
综上知：函数f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上存在唯一零点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数fn（x）=x3-nx-1（x＞0，n∈N*）．（Ⅰ）求函数f3（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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