已知函数f（x）=x2+bx（b∈R），g(x)=x+ax(a∈R)，H(x)=f(g(x))，f(x)≥g(x)g(f(x))，f(x)＜g(x).（Ⅰ）当a=b=1时，求H（x）；（Ⅱ）当a=1时，在x∈[2，+∞）上H（x）=f（g（x）），求b的取值范围；（-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x2+bx（b∈R），g(x)=x+ax(a∈R)，H(x)=f(g(x))，f(x)≥..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-16 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x²+bx（b∈R），g(x)=x+

a

x

(a∈R)，H(x)=

f(g(x))，f(x)≥g(x)

g(f(x))，f(x)＜g(x).

（Ⅰ）当a=b=1时，求H（x）；
（Ⅱ）当a=1时，在x∈[2，+∞）上H（x）=f（g（x）），求b的取值范围；
（Ⅲ）当a＞0时，方程f（g（x））+c=0，在（0，+∞）上有且只有一个实根，求证：b、c中至少有一个负数．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的零点与方程根的联系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当a=b=1时，f（x）=x²+x，g(x)=x+

1

x

由f（x）≥g（x）可得，x≥1或x＜0；由f（x）＜g（x）可得0＜x≤1
∵f[g(x)]=f(x+

1

x

)=(x+

1

x

)2+(x+

1

x

)
g[f（x）]=g（x²+x）=x2+x+

1

x2+x

∴H(X)=

(x+

1

x

)2+(x+

1

x

)，x≥1或x＜0

x2+x+

1

x2+x

，0＜x≤1

（II）当a=1时，x∈[2，+∞），H（x）=f[g（x）]可得当x≥2时，f（x）≥g（x）恒成立
即x2+bx≥x+

1

x

在[2，+∞）恒成立
∴b≥-x+1+

1

x2

在x∈[2，+∞）恒成立
令h（x）=-x+1+

1

x2

，则容易得函数h（x）在[2，+∞）单调递减，则h（x）_max=h（2）=-

3

4

∴b≥-

3

4

（III）假设b≥0，c≥0，a＞0
由于g(x)=x+

a

x

在（0，

a

]单调递减，在[

a

， +∞)单调递增
∴g(x)≥g(

a

)=2

a

＞0
∵c+f(g(x))=(x+

a

x

)2+b(x+

a

x

)+c在[2

a

，+∞）单调递增
∴c+f[g(x)]≥f(2

a

)+c=4a+b

a

+c＞0在（0，+∞）恒成立与f[g（x）]+c=0有根矛盾
故假设错误即b，c至少有一个为非负数

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x2+bx（b∈R），g(x)=x+ax(a∈R)，H(x)=f(g(x))，f(x)≥..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的零点与方程根的联系”。

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